Question

在双曲线的一支上不同三点A(x₁,y₁)、B(,6)、C(x₂,y₂)与焦点F(0,5)的距离成等差数列.

(1)求y₁+y₂的值;

(2)证明线段AC的垂直平分线经过定点,并求出定点的坐标.

Answer 1

分析:对于(1),由于(x₁,y₁)、(x₂,y₂)均在上,因此可以先将x₁和y₁当作已知数,分别求出|BF|、|AF|和|CF|,然后运用等差中项知识求解;另外,AF、BF、CF是双曲线的焦半径,亦可用焦半径公式求解.对于(2)应先写出垂直平分线方程,由于A、C是动点,故垂直平分线方程中必含有字母系数,再讨论直线过哪一个与字母无关的定点.

解:(1)依题意可知,点A、B、C同在双曲线的上支,又上焦点对应的上准线方程为y=,离心率为e,根据双曲线第二定义,知

|AF|=e(y₁-),|BF|=e(6-),|CF|=e(y₂-).

由于|AF|、|BF|、|CF|成等差数列,

故有|AF|+|CF|=2|BF|,

即e(y₁-)+e(y₂-)=2e(6-).

∴y₁+y₂=12.

(2)设AC的中点为M(x₀,y₀),AC的垂直平分线为l,斜率为k,则有y₀=分 y₁+y₂[]2式=6,l的方程为y=k(x-x₀)+6,                             ①

②-③,得13(y₁²-y₂²)-12(x₁²-x₂²)=0,

即13(y₁-y₂)(y₁+y₂)-12(x₁-x₂)(x₁+x₂)=0.

∴13×12(y₁-y₂)-12×2(x₁-x₂)x₀=0.

∴

∴

∴AC的垂直平分线方程为

若使上式对一切实数k恒成立,则x=0,y=,即直线l过定点(0,).

绿色通道：

遇到焦点的弦的问题或双曲线上的点到焦点的距离的问题,要注意焦半径公式的应用.

对于直线过定点问题,一般利用相交直线系方程y-y₀=k(x-x₀)的形式来求定点.