题目内容

在双曲线的一支上有不同的三点A（x1,y1）、B（x2,6）、C(x3,y3),与焦点F（0，5）的距离成等差数列.

（1）求y1+y3的值；

（2）求证：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求出定点坐标.

（1）解：∵,

∴|PF|=ey-a.又A、B、C到F的距离成等差数列，∴2（ey2-a）=(ey1-a)+(ey3-a).

∴y1+y3=2y2=12.

(2)证明：由题意，得

①-②，得(y1-y3)(y1+y3)-(x1-x3)·(x1+x3)=0.

∴==.

若x1+x3=0.

则kAC=0,y1=y3=y2=6,A、B、C三点共线，这是不可能的.

∴x1+x3≠0.则AC的中垂线方程为y-6=(x-),

即y=.因此，AC的中垂线过定点（0,）.

练习册系列答案
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已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)与椭圆
x2
8
+
y2
4
=1有公共焦点，且以抛物线y2=2x的准线为双曲线C的一条准线．动直线l过双曲线C的右焦点F且与双曲线的右支交于P、Q两点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）无论直线l绕点F怎样转动，在双曲线C上是否总存在定点M，使MP⊥MQ恒成立？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

(13分) （理科）已知双曲线与椭圆有公共焦点，且以抛物线的准线为双曲线的一条准线．动直线过双曲线的右焦点且与双曲线的右支交于两点．

（1）求双曲线的方程；

（2）无论直线绕点怎样转动，在双曲线上是否总存在定点，使恒成立？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

 

已知双曲线与椭圆有公共焦点，且以抛物线的准线为双曲线的一条准线．动直线过双曲线的右焦点且与双曲线的右支交于两点．

（1）求双曲线的方程；

（2）无论直线绕点怎样转动，在双曲线上是否总存在定点，使恒成立？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
已知双曲线与椭圆有公共焦点，且以抛物线y2=2x的准线为双曲线C的一条准线．动直线l过双曲线C的右焦点F且与双曲线的右支交于P、Q两点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）无论直线l绕点F怎样转动，在双曲线C上是否总存在定点M，使MP⊥MQ恒成立？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

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