Question

18．已知函数f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$+ax，a∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处的切线与x轴平行，求a值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在其定义域内的单调性；
（Ⅲ）定义：若函数h（x）在区间D上任意x₁，x₂都有$h（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≤\frac{{h（{x_1}）+h（{x_2}）}}{2}$，则称函数h（x）是区间D上的凹函数．设函数g（x）=x²f′（x），a＞0，其中f′（x）是f（x）的导函数．根据上述定义，判断函数g（x）是否为其定义域内的凹函数，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过f（x）在x=1处切线与x轴平行列出关系式即可求出a．
（Ⅱ）求出函数的导数，通过①当a≥0时，②当a＜0时，判断导函数的符号，得到函数的单调性．
（Ⅲ）推出g（x）=ax²+x+1（a＞0），x∈（0，+∞），通过凹函数的定义证明即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意$f'（x）=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+a$又f（x）在x=1处切线与x轴平行$\begin{array}{l}∴f'（1）=2+a=0\end{array}$，从而a=-2…（4分）
（Ⅱ）由$f'（x）=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+a=\frac{{a{x^2}+x+1}}{x^2}$（x＞0）；
①当a≥0时，f'（x）＞0恒成立，此时f（x）在定义域（0，+∞）内单调递增…（6分）
②当a＜0时，令f'（x）＞0得：ax²+x+1＞0，而方程ax²+x+1=0有二根，
${x_1}=\frac{{-1-\sqrt{1-4a}}}{2a}，{x_2}=\frac{{-1+\sqrt{1-4a}}}{2a}$，且x₁＞0＞x₂，从而f（x）在（0，x₁）上递增，（x₁，+∞）上递减，…（8分）
综上，a≥0时，f（x）在（0，+∞）上递增；a＜0时，f（x）在（0，x₁）上递增，（x₁，+∞）上递减…（9分）
（Ⅲ）由题意g（x）=ax²+x+1（a＞0），x∈（0，+∞）…10 分
令任意x₁，x₂∈（0，+∞）则$g（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）=a{（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）^2}+\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}+1$，
$\frac{{g（{x_1}）+g（{x_2}）}}{2}=\frac{{（a{x_1}^2+{x_1}+1）+（a{x_2}^2+{x_2}+1）}}{2}$，
所以$g（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$-$\frac{{g（{x_1}）+g（{x_2}）}}{2}$=$-\frac{a}{4}{（{x_1}-{x_2}）^2}≤0$…（12分）
也即$g（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$≤$\frac{{g（{x_1}）+g（{x_2}）}}{2}$，
故g（x）是其定义域内的凹函数…．（13分）

点评 本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调性，考查分析问题解决问题的能力．