Question

【题目】已知函数.

（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；

（2）证明：当时，函数有最小值，设最小值为，求函数的值域.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）原问题等价于对恒成立，设，求其最小值即可；

（2）求导得，记，，由（1）知在区间内单调递增，从而得到当时，函数有最小值；，又因为．所以，从而易得函数的值域.

详解：（1）因为对恒成立，

等价于对恒成立，设得

，故在上单调递增，

当时，由上知，所以,即，

所以实数的取值范围为；

（2）对求导得，

记，，

由（1）知在区间内单调递增，又，

所以存在唯一正实数，使得，

当时，，，函数在区间单调递减；

时，，，函数在区间单调递增；

所以在内有最小值，

由题设即．

又因为．所以．

根据（1）知， 在内单调递增，，

所以．令，则

，函数在区间内单调递增，

所以，

即函数的值域为．