Question

【题目】己知函数.(是常数，且（)

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当在处取得极值时，若关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；

（Ⅲ）求证:当时.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）减区间为，增区间为.；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析.

【解析】分析：（Ⅰ）先对函数求导，再分别解与，即可得函数的单调区间；（Ⅱ）根据在处取得极值，可得，再设，利用导数研究函数的单调性，根据关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，可得，解不等式即可得出实数的取值范围；（Ⅲ）根据（Ⅰ）和（Ⅱ）可知当时，即，令，对进行放缩，即可证明.

详解：（Ⅰ）由已知比函数的定义域为,

由得，由,得.

所以函数的减区间为，增区间为..

（Ⅱ）由题意，得.

∴

∴

∴,即.

∴,

设，则.

当变化时，的变化情况如下表:

			1		2
	0	-	0	+

∵方程在上恰有两个不相等的实数根

∴

∴

∴即.

（Ⅲ）由（Ⅰ）和（Ⅱ）可知当时，即，

∴当时，，

令时，，即.

∴.