Question

【题目】已知是一个长方体，从点到直线、、的垂线分别交直线、、于点、、，垂足分别为、、．求证：

（1）、、三点共线；

（2）、、三条直线交于一点．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

建立如图的空间直角坐标系．设，，，则长方体的顶点坐标为、、、，、、、．

（1）依题意，设，则，．

因为，则，．故．

设，则，，，．

由

故．

设，则，．

因为，则，．故．

所以，．这表明、、三点共线．

（2）设．

由、、三点共线，得．

又、、三点共线，得．

故

．

所以，．又与有相同的起点，因此，、、共线，即．这表明，、、三线交于一点．

解法2：如图，设，，．

（1）由射影定理有，．由割线定理有，．

故，．同理，，．

在中，由余弦定理，有

．．

从而，．

同理，在中，有．

故，

．

另一方面，在中，由勾股定理，有．

所以，，、、三点共线．

（2）由射影定理，有，．

又由（1）有．故．

由塞瓦定理，、、三线共点．