Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，以Ox轴为始边做两个锐角α，β，且α，β的终边依次与单位圆O相交于M、N两点，已知M、N的横坐标分别为

2 5

5

、

3 10

10

（I ）求α+β的值；
（II）在△ABC中，A，B为锐角，A=α，B=β，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若

m

=（a+1，1），

n

=（b+

2

，1），当

m

∥

n

时，求a b、c的值．

Answer 1

分析：（I）由条件可得cosα=

2 5

5

，cosβ=

3 10

10

由α为锐角可得sinA=sinα=

5

5

同理有sinB=sinβ=

10

10

，利用和角的余弦公式可求cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB，从而可求A+B；　　　
（Ⅱ）由（Ⅰ）知sinC=

2

2

，结合正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，可得a=

2

b   ，c=

5

b，然后由

m

∥

n

可求．

解答：解：（I）由条件得cosα=

2 5

5

，cosβ=

3 10

10

　　　　　　　　　（2分）
∵α为锐角，∴sinA=sinα=

1-cos2α

=

1-( 2 5 )2

=

5

5

，（3分）
同理有sinB=sinβ=

10

10

　　　　（4分）
∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=

2 5

5

×

3 10

10

-

5

5

×

10

10

=

2

2

∵0＜A+B＜π∴A+B=

π

4

　　　　　　　　（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=

3π

4

，∴sinC=

2

2

（7分）　由

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

得a=

2

b   ，c=

5

b（9分）
∵

m

∥

n

∴a-b=

2

-1（11分）
∴

2

b-b=

2

-1∴b=1，a=

2

，c=

5

　　　　（12分）

点评：已知三角函数值求解角的问题，常先求解该角的三角函数值，再结合角的范围求解相应的值，解三角形的最为常用的工具是正弦定理与余弦定理及和差角公式等．