Question

如图，在三棱柱中， ，，，点是的中点，.

（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）设点在线段上，，且使直线和平面所成的角的正弦值为，求的值.

Answer 1

（Ⅰ）连接交于点，连接，得到∥，进一步可得∥平面.                          
（Ⅱ）。

试题分析：（Ⅰ）证明：在三棱柱中，
连接交于点，连接，则是的中点
在中，点是的中点，
所以∥，                   
又，，
所以∥平面.                          （5分）
（Ⅱ）在中，，，点是的中点
所以，又，是平面内的相交直线，
所以平面，可知.                （7分）
又，是平面内的相交直线，交点是D，
知平面. 平面
在三棱柱中，为线段上的点，
过分别作于点，于点，连接
由平面，，得
又，、是平面内的相交直线
所以平面，
是在平面内的射影，
是直线和平面所成的角.                （12分）
设，由得，
可得，
所以在中，, 解得 （14分）
点评：中档题，立体几何问题中，平行关系、垂直关系，角、距离、面积、体积等的计算，是常见题型，基本思路是将空间问题转化成为平面问题，利用平面几何知识加以解决。要注意遵循“一作，二证，三计算”。利用“向量法”，通过建立空间直角坐标系，往往能简化解题过程。