Question

已知各项均为正实数的数列{a_n}的前n项和为S_n，4S_n=a_n²+2a_n-3对于一切n∈N*成立。
（1）求a₁；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=，T_n为数列的前n项和，求证：T_n＜5。

Answer 1

解：（1）当n=1时，
得
解得或
由条件知
所以；
（2）当时，
则
所以


由条件知
所以
故正实数的数列{a_n}是首项为3，公差为2的等差数列，
所以a_n=2n+1。
（3）由（2）知
∴ ①
将上式两边同乘以得
 ②
①-②，得

即
∵
∴
∴。