题目内容

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{a_n²}的前n项和为T_n，满足a₁=1，Tn=

(p-Sn)2，其中p为常数．
（1）求p的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）①是否存在正整数n，m，k（n＜m＜k），使得a_n，a_m，a_k成等差数列？若存在，指出n，m，k的关系；若不存在，请说明理由；
②若对于任意的正整数n，都有a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2成等差数列，求出实数x，y的值．

分析：（1）令n=1，代入Tn，求出p的可能取值，经过验证，确定最终的值2．利用a_n与Sn，a_n^2_与Tn的关系，转化，寻求{a_n}的性质，根据性质求通项．
（2）①假设存在n，m，k（n＜m＜k），列出关系式，探讨有无解或关系②转换成恒成立问题，注意a⁰=1（a≠0）的使用．

解答：解：（1）当n=1时，T_n=

(p-S1)2，即1=

(p-1)2，∴p=0或p=2
当p=0时，T_n=

S12．将n=2代入，得1+a₂²=

(1+a2)2．
∴a₂=0，或∴a2=-

与a_n＞0矛盾．∴p≠0
当p=2时，Tn=

(2-Sn)2 ①
将n=2代入，得1+a22=

(1-a2)2∴a₂=

，a₂=

a₁由①得Tn+1=

(2-Sn+1)2 ②
②-①得an+12=

(4-Sn+1-Sn) (Sn+1-Sn)
即3a_n+1²=（4-S_n+1-S_n）a_n+1
则3a_n+1=4-S_n+1-S_n ③
则 3a_n+2=4-S_n+2-S_n+1 ④
④-③，得3a_n+2-3a_n+1=-a_n+2-a_n+1a_n+2=

a_n+1，又a₂=

a₁∴{a_n}是等比数列，通项公式a_n=(

)n-1．
（2）①假设存在正整数n，m，k（n＜m＜k），使得a_n，a_m，a_k成等差数列，则
2a_m=a_n+a_k，即2×(

)m-1=(

)n-1+(

)k-1
两边同除以(

)m-1得：2=(

)n-m+(

)k-m ⑤
由已知n-m≤-1，∴(

)n-m≥2，且(

)k-m＞0
∴⑤式不成立．从而不存在满足条件的n，m，k．
②若对于任意的正整数n，都有a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2成等差数列
则2^x+1a_n+1=a_n+2^ya_n+2，根据通项公式，得2^x-n+1=2^1-n+2^y-n-1，
两边同除以2^1-n，得2^x=1+2^y-2，∴x=1，y=2．

点评：本题考查等比数列的定义，性质，通项公式求解，考查转化能力，分析解决问题能力，计算能力，反证法的运用能力．是难题．