题目内容
（2011•武昌区模拟）已知各项均为正实数的数列{an}的前n项和为Sn，4Sn=an2+2an-3对于一切n∈N*成立．
（Ⅰ）求a1；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）设bn=
，Tn为数列{
}的前n项和，求证Tn＜5．
（Ⅰ）求a1；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）设bn=
| 2an-1 |
| an |
| bn |
分析：（Ⅰ）直接把n=1代入4Sn=an2+2an-3再结合各项均为正实数即可求出a1；
（Ⅱ）直接根据4Sn=an2+2an-3以及4sn-1=an-12+2an-1-3；作差整理求出an-an-1=2，得到数列的规律，即可求出结论；
（Ⅲ）先求出数列{
}的通项公式，在利用错位相减法求和，进而证明结论．
（Ⅱ）直接根据4Sn=an2+2an-3以及4sn-1=an-12+2an-1-3；作差整理求出an-an-1=2，得到数列的规律，即可求出结论；
（Ⅲ）先求出数列{
| an |
| bn |
解答：解：（Ⅰ）当n=1时，4S1=4a1=a1 2+2a1-3，，得a12-4a1-3=0，
a1=3或a1=-1，由条件an＞0，所以a1=3． …（2分）
（Ⅱ）当n≥2时，4Sn=an2+2an-3，4sn-1=an-12+2an-1-3；
则4Sn-4Sn-1=an2+2an-3-an-12-2an-1+3，
所以4an=an2+2an-an-12-2an-1，an2-2an-an-12-2an-1=0，
（an+an-1）（an-an-1-2）=0，…（4分）
由条件an+an-1＞0，所以an-an-1=2，…（5分）
故正数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列，
所以an=2n+1． …（6分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）bn=
=
=2n，
=
，…（8分）
∴Tn=
+
+…+
+
，①…（9分）
将上式两边同乘以
，得
Tn=
+
+…+
+
②…（10分）
①-②，得
Tn=
+
+
+…+
-
=
-
，
即Tn=5-
．…（12分）
∵n∈N*，∴
＞0
∴Tn＜5．…（13分）
a1=3或a1=-1，由条件an＞0，所以a1=3． …（2分）
（Ⅱ）当n≥2时，4Sn=an2+2an-3，4sn-1=an-12+2an-1-3；
则4Sn-4Sn-1=an2+2an-3-an-12-2an-1+3，
所以4an=an2+2an-an-12-2an-1，an2-2an-an-12-2an-1=0，
（an+an-1）（an-an-1-2）=0，…（4分）
由条件an+an-1＞0，所以an-an-1=2，…（5分）
故正数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列，
所以an=2n+1． …（6分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）bn=
| 2an-1 |
| 22n+1-1 |
| an |
| bn |
| 2n+1 |
| 2n |
∴Tn=
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 22 |
| 2n-1 |
| 2n-1 |
| 2n+1 |
| 2n |
将上式两边同乘以
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 22 |
| 5 |
| 23 |
| 2n-1 |
| 2n |
| 2n+1 |
| 2n+1 |
①-②，得
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 2 |
| 22 |
| 2 |
| 23 |
| 2 |
| 2n |
| 2n+1 |
| 2n+1 |
| 5 |
| 2 |
| 2n+5 |
| 2n+1 |
即Tn=5-
| 2n+5 |
| 2n |
∵n∈N*，∴
| 2n+5 |
| 2n |
∴Tn＜5．…（13分）
点评：本题主要考察数列与不等式的综合问题．其中涉及到数列的错位相减法求和，数列的错位相减法求和适用于一等差数列乘一等比数列组成的新数列．
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