Question

设函数，且αsinα-βsinβ＞0，则下列不等式必定成立的是

1. A.
   α＞β
2. B.
   α＜β
3. C.
   α+β＞0
4. D.
   α²＞β²

Answer 1

D
分析：构造函数f（x）=xsinx，x∈，利用奇偶函数的定义可判断其奇偶性，利用f′（x）=sinx+xcosx可判断f（x）=xsinx，x∈[0，]与x∈[-，0]上的单调性，从而可选出正确答案．
解答：令f（x）=xsinx，x∈，
∵f（-x）=-x•sin（-x）=x•sinx=f（x），
∴f（x）=xsinx，x∈为偶函数．
又f′（x）=sinx+xcosx，
∴当x∈[0，]，f′（x）＞0，即f（x）=xsinx在x∈[0，]单调递增；
同理可证偶函数f（x）=xsinx在x∈[-，0]单调递减；
∴当0≤|β|＜|α|≤时，f（α）＞f（β），即αsinα-βsinβ＞0，反之也成立；
故选D．
点评：本题考查正弦函数的单调性，难点在于构造函数f（x）=xsinx，x∈，通过研究函数f（x）=xsinx，的奇偶性与单调性解决问题，属于难题．