Question

已知圆C以C(t，

2

t

)(t∈R，t≠0)为圆心且经过原点O．
（Ⅰ）若直线2x+y-4=0与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，已知点B的坐标为（0，2），设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．

Answer 1

由题知，圆C方程为(x-t)2+(y-

2

t

)2=t2+

4

t2

，
化简得x2-2tx+y2-

4

t

y=0
（Ⅰ）∵|OM|=|ON|，则原点O在MN的中垂线上，
设MN的中点为H，则CH⊥MN．
∴C，H，O三点共线，
则直线OC的斜率k=

2 t

t

=

2

t2

=

1

2

?t=2或t=-2，
知圆心C（2，1）或C（-2，-1），
所以圆方程为（x-2）²+（y-1）²=5或（x+2）²+（y+1）²=5，
由于当圆方程为（x+2）²+（y+1）²=5时，
直线2x+y-4=0到圆心的距离d＞r，不满足直线和圆相交，故舍去．
∴圆C方程为（x-2）²+（y-1）²=5．   
（Ⅱ） 点B（0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为B′（-4，-2），
则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，
又B′到圆上点Q的最短距离为|B/C|-r=

(-6)2+32

-

5

=3

5

-

5

=2

5

，
所以|PB|+|PQ|的最小值为2

5

，
直线B′C的方程为y=

1

2

x，
则直线B′C与直线x+y+2=0的交点P的坐标为(-

4

3

，-

2

3

)．