Question

已知圆C以C(t，

2

t

)(t∈R，t≠0)为圆心且经过原点O．
（Ⅰ）若直线2x+y-4=0与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，已知点B的坐标为（0，2），设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．

Answer 1

分析：（I）利用圆的标准方程写出圆的方程，根据线段的中垂线的性质判断出C，H，O三点共线，利用两点连线的斜率公式求出直线OC的斜率，列出关于t的方程，求出t的值．通过圆心到直线的距离与圆半径的大小的比较，判断出直线与圆的关系是否相交．
（II）求出点B关于直线x+y+2=0的对称点，将已知问题转化为对称点到圆上的最小值问题，根据圆的几何条件，圆外的点到圆上的点的最小值等于该点到圆心的距离减去半径．

解答：解：由题知，圆C方程为(x-t)2+(y-

2

t

)2=t2+

4

t2

，
化简得x2-2tx+y2-

4

t

y=0
（Ⅰ）∵|OM|=|ON|，则原点O在MN的中垂线上，
设MN的中点为H，则CH⊥MN．
∴C，H，O三点共线，
则直线OC的斜率k=

2 t

t

=

2

t2

=

1

2

⇒t=2或t=-2，
知圆心C（2，1）或C（-2，-1），
所以圆方程为（x-2）²+（y-1）²=5或（x+2）²+（y+1）²=5，
由于当圆方程为（x+2）²+（y+1）²=5时，
直线2x+y-4=0到圆心的距离d＞r，不满足直线和圆相交，故舍去．
∴圆C方程为（x-2）²+（y-1）²=5．   
（Ⅱ） 点B（0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为B′（-4，-2），
则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，
又B′到圆上点Q的最短距离为|B/C|-r=

(-6)2+32

-

5

=3

5

-

5

=2

5

，
所以|PB|+|PQ|的最小值为2

5

，
直线B′C的方程为y=

1

2

x，
则直线B′C与直线x+y+2=0的交点P的坐标为(-

4

3

，-

2

3

)．

点评：求圆的方程一般利用的方法是待定系数法；解决直线与圆的有关的问题常利用圆的一些几何意义：常需要解圆心距、弦长的一半、圆的半径构成的直角三角形；圆外的点到圆上的最值常求出点到圆心的距离加上或减去圆的半径．