Question

过平面区域

x-y+2≥0 y+2≥0 x+y+2≤0

内一点P作圆O：x²+y²=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，则当α最小时cosα=

9

10

．

Answer 1

分析：先依据不等式组

x-y+2≥0 y+2≥0 x+y+2≤0

，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用圆的方程画出图形，确定α最小时点P的位置，最后利用二倍角公式计算即可．

解答：解：如图阴影部分表示

x-y+2≥0 y+2≥0 x+y+2≤0

，确定的平面区域，
当P离圆O最远时α最小，此时点P坐标为：（-4，-2），
记∠APO=β，则α=2β，则sinβ=

AO

PO

=

1

2 5

，
则cosα=cos2β=1-2sin²β=1-2×（

1

2 5

）²，
计算得cosα=

9

10

，
故答案为：

9

10

．

点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．