Question

过抛物线y²=2px（p＞0）的对称轴上的定点M（m，0）（m＞0），作直线AB与抛物线相交于A，B两点．
（1）试证明A，B两点的纵坐标之积为定值；
（2）若点N是定直线l：x=-m上的任一点，试探索三条直线AN，MN，BN的斜率之间的关系，并给出证明．

Answer 1

分析：（1）设直线AB的方程为：x=ty+m，与y²=2px联立，消去x得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系即可证明；
（2）三条直线AN，MN，BN的斜率成等差数列．设点N（-m，n），则直线AN的斜率为kAN=

y1-n

x1+m

，直线BN的斜率为kBN=

y2-n

x2+m

，再利用（1）的结论即可证明．

解答：（1）证明：．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）有y₁•y₂=-2pm，下证之：
设直线AB的方程为：x=ty+m，与y²=2px联立

x=ty+m y2=2px

消去x得y²-2pty-2pm=0，
由韦达定理得y₁•y₂=-2pm，
（2）解：三条直线AN，MN，BN的斜率成等差数列，下证之：
设点N（-m，n），则直线AN的斜率为kAN=

y1-n

x1+m

，
直线BN的斜率为kBN=

y2-n

x2+m

，
∴kAN+kBN=

y1-n

y12 2p +m

+

y2-n

y22 2p +m

=

2p(y1-n)

y12+2pm

+

2p(y2-n)

y22+2pm

=2p(

y1-n

y12-y1y2

+

y2-n

y22-y1y2

)=2p•

y2(y1-n)-y1(y2-n)

y1y2(y1-y2)

=2p•

n(y1-y2)

y 1y2(y1-y2)

=2p•

n

y1y2

=2p•

n

-2pm

=-

n

m

又∵直线MN的斜率为kMN=

n-0

-m-m

=-

n

2m

，
∴k_AN+k_BN=2k_MN
即直线AN，MN，BN的斜率成等差数列．

点评：熟练掌握直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到一元二次方程的根与系数的关系、直线的斜率计算公式、等差数列的定义等是解题的关键．