题目内容
已知a＞0且a≠1，
．
试判断f（x）在定义域上是否为单调函数？若是，是增函数还是减函数？并证明结论．
解：是增函数．证明如下：
设t=logax，则x=at，
∴
，
即
．
∴
．
∵f（x）的定义域为R，
设x1＜x2，则
f（x1）-f（x2）=
=
．
∵a＞0，a≠1，
∴
．
若0＜a＜1，则
．
此时
，
∴f（x1）＜f（x2）．
同理，若a＞1，则f（x1）＜f（x2）．
综上所述，当a＞0且a≠1时，f（x）在R上单调递增．
分析：先通过换元法，等价转化函数为
，用函数的单调性定义证明．
点评：本题考查了函数的等价转化以及分类讨论思想．
设t=logax，则x=at，
∴
，即
．∴
．∵f（x）的定义域为R，
设x1＜x2，则
f（x1）-f（x2）=
=．∵a＞0，a≠1，
∴
．若0＜a＜1，则
．此时
，∴f（x1）＜f（x2）．
同理，若a＞1，则f（x1）＜f（x2）．
综上所述，当a＞0且a≠1时，f（x）在R上单调递增．
分析：先通过换元法，等价转化函数为
，用函数的单调性定义证明．点评：本题考查了函数的等价转化以及分类讨论思想．
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