题目内容

已知a>0且a≠1,函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga
1
1-x
,记F(x)=2f(x)+g(x)
(1)求函数F(x)的定义域D及其零点;
(2)若关于x的方程F(x)-m=0在区间[0,1)内有解,求实数m的取值范围.
(1)F(x)=2f(x)+g(x)=2loga(x+1)+loga
1
1-x
(a>0且a≠1)
x+1>0
1-x>0
,可解得-1<x<1,
所以函数F(x)的定义域为(-1,1)
令F(x)=0,则2loga(x+1)+loga
1
1-x
=0
…(*)  
方程变为loga(x+1)2=loga(1-x),即(x+1)2=1-x,即x2+3x=0
解得x1=0,x2=-3,经检验x=-3是(*)的增根,所以方程(*)的解为x=0
即函数F(x)的零点为0.
(2)方程可化为m=2loga(x+1)+loga
1
1-x

=loga
x2+2x+1
1-x
=loga(1-x+
4
1-x
-4)

am=1-x+
4
1-x
-4
,设1-x=t∈(0,1]
函数y=t+
4
t
在区间(0,1]上是减函数
当t=1时,此时x=0,ymin=5,所以am≥1
①若a>1,由am≥1可解得m≥0,
②若0<a<1,由am≥1可解得m≤0,
故当a>1时,实数m的取值范围为:m≥0,
当0<a<1时,实数m的取值范围为:m≤0
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