Question

甲、乙俩人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为

1

2

，乙每次击中目标的概率为

2

3

．
（Ⅰ）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望Eξ；
（Ⅱ）求乙至多击中目标2次的概率；
（Ⅲ）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．

Answer 1

分析：（1）由题意得甲击中目标的次数ξ为0、1、2、3，根据独立重复试验公式得到变量对应的概率，当变量为0时表示没有击中目标，当变量为1时表示击中目标1次，当变量为2时表示击中目标2次，当变量为3时表示击中目标3次，写出分布列和期望．
（2）乙至多击中目标2次的对立事件是乙能击中3次，由对立事件的概率公式得到要求的概率．
（3）甲恰比乙多击中目标2次包含甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次和甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次，且这两种情况是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果．

解答：解：（I）由题意得甲击中目标的次数ξ为0、1、2、3，
根据独立重复试验公式得到变量对应的概率，
当变量为0时表示没有击中目标，
当变量为1时表示击中目标1次，
当变量为2时表示击中目标2次，
当变量为3时表示击中目标3次，
∴P（ξ=0）=

C

0 3

(

1

2

)3=

1

8

，
P（ξ=1）=

C

1 3

(

1

2

)3=

3

8

，
P（ξ=2）=

C

2 3

(

1

2

)3=

3

8

，
P（ξ=3）=

C

3 3

(

1

2

)3=

1

8

，
∴ξ的概率分布如下表：

Eξ=O•

1

8

+1•

3

8

+2•

3

8

+3•

1

8

=1.5，（或Eξ=3•

1

2

=1.5）；

（II）乙至多击中目标2次的对立事件是乙能击中3次，
有对立事件的概率公式得到
概率为1-

C

3 3

(

2

3

)3=

19

27

；

（III）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B₁，
甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件B₂，
则A=B₁+B₂，
B₁，B₂为互斥事件P（A）=P（B₁）+P（B₂）=

3

8

•

1

27

+

1

8

•

2

9

=

1

24

∴甲恰好比乙多击中目标2次的概率为

1

24

．

点评：考查运用概率知识解决实际问题的能力，注意满足独立重复试验的条件，解题过程中判断概率的类型是难点也是重点，这种题目高考必考，应注意解题的格式．