题目内容
已知函数f（x）=51nx+ax2-6x（a为常数），且f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．
分析：（I）利用导数的几何意义可得f'（1）=0，解出a即可；
（II）利用导数的运算法则得出f′（x），解出f′（x）＞0或f′（x）＜0，即可得出函数的单调区间．
（II）利用导数的运算法则得出f′（x），解出f′（x）＞0或f′（x）＜0，即可得出函数的单调区间．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=5lnx+ax2-6x，∴f′(x)=
+2ax-6(x＞0)；
又∵f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，
∴f'（1）=5+2a-6=0，得a=
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=5lnx+
x2-6x，
∴f′(x)=
=
(x＞0)；
由f'（x）＞0得x＜1，或x＞5；由f'（x）＜0，1＜x＜5．
∴函数f （x） 的单调递增区间为 （0，1）和 （5，+∞），单调递减区间为 （1，5 ）．
| 5 |
| x |
又∵f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，
∴f'（1）=5+2a-6=0，得a=
| 1 |
| 2 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=5lnx+
| 1 |
| 2 |
∴f′(x)=
| x2-6x+5 |
| x |
| (x-1)(x-5) |
| x |
由f'（x）＞0得x＜1，或x＞5；由f'（x）＜0，1＜x＜5．
∴函数f （x） 的单调递增区间为 （0，1）和 （5，+∞），单调递减区间为 （1，5 ）．
点评：熟练掌握导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义是解题的关键．
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