题目内容
已知函数f（x）=x3-3x．
（1）求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；
（2）若过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．
（1）求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；
（2）若过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．
（1）f'（x）=3x2-3，f'（2）=9，f（2）=23-3×2=2（2分）
∴曲线y=f（x）在x=2处的切线方程为y-2=9（x-2），即9x-y-16=0（4分）
（2）过点A（1，m）向曲线y=f（x）作切线，设切点为（x0，y0）
则y0=x03-3x0，k=f'（x0）=3x02-3．
则切线方程为y-（x03-3x0）=（3x02-3）（x-x0）（6分）
将A（1，m）代入上式，整理得2x03-3x02+m+3=0．
∵过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线
∴方程2x3-3x2+m+3=0（*）有三个不同实数根、（8分）
记g（x）=2x3-3x2+m+3，g'（x）=6x2-6x=6x（x-1）、
令g'（x）=0，x=0或1、（10分）
则x，g'（x），g（x）的变化情况如下表
当x=0，g（x）有极大值m+3；x=1，g（x）有极小值m+2、（12分）
由题意有，当且仅当
，即
，-3＜m＜-2时，
函数g（x）有三个不同零点、
此时过点A可作曲线y=f（x）的三条不同切线．故m的范围是（-3，-2）（14分）
∴曲线y=f（x）在x=2处的切线方程为y-2=9（x-2），即9x-y-16=0（4分）
（2）过点A（1，m）向曲线y=f（x）作切线，设切点为（x0，y0）
则y0=x03-3x0，k=f'（x0）=3x02-3．
则切线方程为y-（x03-3x0）=（3x02-3）（x-x0）（6分）
将A（1，m）代入上式，整理得2x03-3x02+m+3=0．
∵过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线
∴方程2x3-3x2+m+3=0（*）有三个不同实数根、（8分）
记g（x）=2x3-3x2+m+3，g'（x）=6x2-6x=6x（x-1）、
令g'（x）=0，x=0或1、（10分）
则x，g'（x），g（x）的变化情况如下表
| x | （-∞，0） | 0 | （0，1） | 1 | （1，+∞） |
| g'（x） | + | 0 | - | 0 | + |
| g（x） | 递增 | 极大 | 递减 | 极小 | 递增 |
由题意有，当且仅当
|
|
函数g（x）有三个不同零点、
此时过点A可作曲线y=f（x）的三条不同切线．故m的范围是（-3，-2）（14分）
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|