Question

12．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且cos（2B+2C）-3cos（B+C）=1．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，△ABC的面积S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求b+c的值．

Answer 1

分析 （1）cos（2B+2C）-3cos（B+C）=1，利用倍角公式与诱导公式即可得出．
（2）由于△ABC的面积S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}bcsinA$，化为bc=2．再利用余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-2bccosA，即可得出．

解答 解：（1）cos（2B+2C）-3cos（B+C）=1，化为2cos²（B+C）-1-3cos（B+C）=1，
∴2cos²A+3cosA-2=0，cosA∈（0，-1），解得cosA=$\frac{1}{2}$，A∈（0，π），
∴$A=\frac{π}{3}$．
（2）∵△ABC的面积S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}bcsin\frac{π}{3}$，化为bc=2．
利用余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-2bccosA，
∴2²=（b+c）²-2×2cos$\frac{π}{3}$，可得：b+c=$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了倍角公式与诱导公式、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．