题目内容
7．设△ABC中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{b}$，且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$．试判断△ABC的形状．分析 通过向量的运算律：分配律得到$\overrightarrow{b}$•（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）=0，据向量的运算法则得三角形的三边对应的向量和为0，即$\overrightarrow{b}$=-（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$），代入得向量的平方相等，据向量的平方等于向量模的平方得出三角形的三边相等．
解答 解：由$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$得$\overrightarrow{b}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）=0$，∴$\overrightarrow{b}⊥（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）$，
∵$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}$均为非零向量，且$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{b}=-（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）$，则$-（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）=0$，
∴$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{c}|$，同理可得$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{c}|$，
则△ABC为正三角形．
点评 本题考查向量的运算律；向量的运算法则；及向量的平方等于向量模的平方，是中档题．
名校课堂系列答案| A． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | B． | $\frac{3\sqrt{3}}{3}$ | C． | $\frac{\sqrt{3}}{4}$ | D． | $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ |
| x（万元） | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
| y（万元） | 30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
（2）设k=$\frac{销售额}{广告费}$，若k≥10，则称该店为“盈利店”，把上述样品中“盈利店”的频率视作一个店是“盈利店”的概率，现另外再调查3个销售店，记这三个店中“盈利店”的个数为X，求X的分布列和数学期望．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：$\widehat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}=\overline{y}-\widehat{b}\overline{x}$．