Question

直角三角形ABC的直角顶点C在平面N内, 直角边AC、BC与平面N成30°角, AC＝2, BC＝4, 则△ABC所在平面M与平面N所成二面角的大小为_______度.

Answer 1

答案：45
解析：

解: 如图, 过A、B作平面N的垂线AD、BE, 垂足为D、E, 连结CD、CE,      则AD⊥DC, BE⊥CE, 并且由条件得  ∠ACD＝∠BCE＝30°. 所以 AD＝AC＝1,  BE＝BC＝2, CD＝AD＝, CE＝BE＝2,  从Rt△ABC得   AB2＝AC2+BC2＝22+42＝20; 从直角梯形ABED得  DE2＝AB2-(BE-AD)2＝20-(2-1)2＝19;  记∠DCE＝α, 并在△CDE中应用余弦定理, 得 分别用S和S＇表示△ABC和△DCE的面积, 则 S＝AC·BC＝×2×4＝4, S＇＝DC·CEsinα＝××2×＝2. 设平面ABC与平面N所成的两个互补二面角中, 较小的一个为θ, 则 S＇＝Scosθ, 所以 cosθ＝＝＝, 由此得θ＝45°, 即: △ABC所在平面与平面N所成二面角的大小为45°.

提示：

射影面积法.