Question

△ABC中，己知∠A＞∠B＞∠C，且∠A=2∠C，b=4，a+c=8，求a，c的长．

Answer 1

分析：根据正弦定理得

b

sinB

=

a+c

sinA+sinC

，结合已经条件算出sin2C+sinC=2sin3C，利用两角和的正弦公式和二倍角公式化简整理，得8cos²C-2cosC-3=0，解出锐角C的余弦值为

3

4

．最后利用余弦定理建立关系式，结合a+c=8即可解出边a、c的长．

解答：解：根据正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，得

b

sinB

=

a+c

sinA+sinC

∵b=4，a+c=8，∠A=2∠C，
∴

4

sin(π-3C)

=

8

sin2C+sinC

，可得sin2C+sinC=2sin（π-3C）=2sin3C
∵sin2C=2sinCcosC，sin3C=sin（2C+C）=sin2CcosC+cos2CsinC=2sinCcos²C+sinC（2cos²C-1）
∴2sinCcosC+sinC=2[2sinCcos²C+sinC（2cos²C-1）]
结合sinC＞0，化简整理得：8cos²C-2cosC-3=0，
解之得cosC=

3

4

或cosC=-

1

2

∵∠A＞∠B＞∠C，得C为锐角，
∴cosC=-

1

2

不符合题意，舍去
根据余弦定理，得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

3

4

，
∴

a2+42-(8-a)2

2×a×4

=

3

4

，解之得a=

24

5

，c=8-a=

16

5

综上，a、c的长分别为

24

5

、

16

5

．

点评：本题给出△ABC的最大角等于最小角的2倍，最大边与最小边之和等于第三边的2倍，求边a、c的长．着重考查了三角恒等变换和利用正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．