Question

13．设有一颗彗星，围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于这条抛物线的焦点处，当此彗星离地球为d万千米时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为30°，求这颗彗星与地球的最短距离．

Answer 1

分析 设彗星所在的抛物线的方程为y²=2px（p＞0），求得焦点和准线方程，运用抛物线的定义和直线的斜率公式，建立方程组，解方程，可得p，再由抛物线的性质可得最短距离为$\frac{1}{2}$p，计算即可得到所求值．

解答 解：设彗星所在的抛物线的方程为y²=2px（p＞0），
焦点F为（$\frac{p}{2}$，0），准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，
设|PF|=d，直线PF的倾斜角为30°，
设P（m，n），由抛物线的定义可得d=m+$\frac{p}{2}$，①
又n²=2pm，②，$\frac{n-0}{m-\frac{p}{2}}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$③，
由①②③解得p=$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$d或$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$d．
由抛物线的性质可得抛物线上的点到焦点的距离的最小值为$\frac{1}{2}$p，
即有这颗彗星与地球的最短距离为$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$d（万千米），或$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$d（万千米）．

点评 本题考查抛物线的实际应用，考查抛物线的方程和性质，考查运算能力，属于中档题．