Question

设已知

a

=(2cos

α+β

2

，sin

α-β

2

)，

b

=(cos

α+β

2

，3sin

α-β

2

)，其中α、β∈（0，π）．
（1）若α+β=

2π

3

，且

a

=2

b

，求α、β的值；
（2）若

a

•

b

=

5

2

，求tanαtanβ的值．

Answer 1

分析：（1）先化简两个向量的坐标，由条件

a

=2

b

，得到sin(α-

π

3

)=0，由角的范围可得α、β的值．
（2）由

a

•

b

=

5

2

，再利用两角和差的三角公式得到-5sinαsinβ=cosαcosβ，从而得到tanαtanβ的值．

解答：解：（1）∵α+β=

2π

3

，∴

a

=（1，sin(α-

π

3

)），

b

=（

1

2

，3sin(α-

π

3

)），（2分）
由

a

=2

b

，得sin(α-

π

3

)=0，α∈（0，π），（4分）
∴α=

π

3

，β=

π

3

，（7分）
（2）∵

a

•

b

=2cos²2cos(

α+β

2

)-3sin2

α-β

2

=1+cos(α+β)+3×

1-cos(α-β)

2

=

5

2

+cos(α+β)-

3

2

cos(α-β)（10分）
∴

5

2

+cos(α+β)-

3

2

cos(α-β)=

5

2

，即cos(α+β)=

3

2

cos(α-β)，
整理得-5sinαsinβ=cosαcosβ，（12分）
∵α、β∈A，∴tanαtanβ=-

1

5

．（14分）

点评：本题考查两个向量的坐标形式的运算，两角和差的三角函数公式、同角三角函数的基本关系．