题目内容

精英家教网本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A：AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC．
B：在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，0），B（-2，0），C（-2，1）．设k为非零实数，矩阵M=
k0
01
，N=
01
10
，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值．
C：在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值．
D：设a、b是非负实数，求证：a3+b3≥
ab
(a2+b2)．
分析：A、连接OD，则OD⊥DC，又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，再证明OB=BC=OD=OA，即可求解．
B、由题设得MN=
k0
01
01
10
=
0k
10
，根据矩阵的运算法则进行求解．
C、在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，由题意将圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算a值．
D、利用不等式的性质进行放缩证明，a3+b3-
ab
(a2+b2)=a2
a
(
a
-
b
)+b2
b
(
b
-
a
)然后再进行讨论求证．
解答：解：A：（方法一）证明：连接OD，则：OD⊥DC，
又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，
∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，精英家教网
所以∠DCO=30°，∠DOC=60°，
所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC．

（方法二）证明：连接OD、BD．
因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=90°，AB=2OB．
因为DC是圆O的切线，所以∠CDO=90°．
又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，
于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO．精英家教网
即2OB=OB+BC，得OB=BC．
故AB=2BC．
B满分（10分）．由题设得MN=
k0
01
01
10
=
0k
10

由
0k
10
0-2-2
001
=
00k
0-2-2
，可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（k，-2）．
计算得△ABC面积的面积是1，△A1B1C1的面积是|k|，则由题设知：|k|=2×1=2．
所以k的值为2或-2．
C解：ρ2=2ρcosθ，圆ρ=2cosθ的普通方程为：x2+y2=2x，（x-1）2+y2=1，
直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：3x+4y+a=0，
又圆与直线相切，所以
|3•1+4•0+a|
32+42
=1，
解得：a=2，或a=-8．
D（方法一）证明：a3+b3-
ab
(a2+b2)=a2
a
(
a
-
b
)+b2
b
(
b
-
a
)
=(
a
-
b
)[(
a
)5-(
b
)5]
=(
a
-
b
)2[(
a
)4+(
a
)3(
b
)+(
a
)2(
b
)2+(
a
)(
b
)3+(
b
)4]
因为实数a、b≥0，(
a
-
b
)2≥0，[(
a
)4+(
a
)3(
b
)+(
a
)2(
b
)2+(
a
)(
b
)3+(
b
)4]≥0
所以上式≥0．即有a3+b3≥
ab
(a2+b2)．
（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得a3+b3-
ab
(a2+b2)
=a2
a
(
a
-
b
)+b2
b
(
b
-
a
)
=(
a
-
b
)[(
a
)5-(
b
)5]
当a≥b时，
a
≥
b
，从而(
a
)5≥(
b
)5，得(
a
-
b
)[(
a
)5-(
b
)5]≥0；
当a＜b时，
a
＜
b
，从而(
a
)5＜(
b
)5，得(
a
-
b
)[(
a
)5-(
b
)5]＜0；
所以a3+b3≥
ab
(a2+b2)．
点评：本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力，及图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力还考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力．另外此题也考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．
练习册系列答案
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精英家教网选做题本题包括A，B，C，D四小题，请选定其中 两题 作答，每小题10分，共计20分，
解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
A选修4-1：几何证明选讲
自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点，且∠BMP=100°，∠BPC=40°，求∠MPB的大小．
B选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵A=
ab
cd
，矩阵A属于特征值λ1=-1的一个特征向量为α1=
1
-1
，属于特征值λ2=4的一个特征向量为α2=
3
2
．求矩阵A．
C选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为
x=2cosα
y=sinα
(α为参数)．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ-
π
4
)=2
2
．点
P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．
D选修4-5：不等式选讲
若正数a，b，c满足a+b+c=1，求
1
3a+2
+
1
3b+2
+
1
3c+2
的最小值．
（2013•宿迁一模）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，已知AB，CD是圆O的两条弦，且AB是线段CD的 垂直平分线，若AB=6，CD=2
5
，求线段AC的长度．
B．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵M=
21
1a
的一个特征值是3，求直线x-2y-3=0在M作用下的新直线方程．
C．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是
x=cosα
y=sinα+1
（α是参数），若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．
D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
已知关于x的不等式|ax-1|+|ax-a|≥1的解集为R，求正实数a的取值范围．
选作题，本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．（几何证明选讲）
如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长．
B．（矩阵与变换）
已知矩阵
12
2a
的属于特征值b的一个特征向量为
1
1
，求实数a、b的值．
C．（极坐标与参数方程）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，-2）在曲线
x=2pt2
y=2pt
（t为参数，p为正常数），求p的值．
D．（不等式选讲）
设a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=1，求证：
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
≥9．
选作题，本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．（几何证明选讲）
如图，已知两圆交于A、B两点，过点A、B的直线分别与两圆交于P、Q和M、N．求证：PM∥QN．
B．（矩阵与变换）
已知矩阵A的逆矩阵A-1=
10
02
，求矩阵A．
C．（极坐标与参数方程）
在平面直角坐标系xOy中，过椭圆
x2
12
+
y2
4
=1在第一象限处的一点P（x，y）分别作x轴、y轴的两条垂线，垂足分别为M、N，求矩形PMON周长最大值时点P的坐标．
D．（不等式选讲）
已知关于x的不等式|x-a|+1-x＞0的解集为R，求实数a的取值范围．

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