Question

（18乙）如图，已知平行六面体ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD.

 

（Ⅰ）证明：C₁C⊥BD；

（Ⅱ）当的值为多少时，能使A₁C⊥平面C₁BD？请给出证明.

Answer 1

（18乙）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力.

（1）证明：连结A₁C₁、AC，AC和BD交于O，连结C₁O.

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，BC＝CD.

又∵∠BCC₁＝∠DCC₁，C₁C＝C₁C，

∴△C₁BC≌△C₁DC，

∴C₁B＝C₁D，

∵DO＝OB，

∴C₁O⊥BD，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

但，AC⊥BD，AC∩C₁O＝O，

∴BD⊥平面AC₁.

又C₁C平面AC₁，

∴C₁C⊥BD.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

（Ⅱ）当时，能使A₁C⊥平面C₁BD.

证明一：

∵，

∴BC＝CD＝C₁C.

又∠BCD＝∠C₁CB＝∠C₁CD，

由此可推得BD＝C₁B＝C₁D.

∴三棱锥C—C₁BD是正三棱锥.　　　　　　　　　　

设A₁C与C₁O相交于G.

∵A₁C₁∥AC，且A₁C₁∶OC＝2∶1，

∴C₁G∶GO＝2∶1.

又C₁O是正三角形C₁BD的BD边上的高和中线，

∴点G是正三角形C₁BD的中心，

∴CG⊥平面C₁BD.即　A₁C⊥平面C₁BD.　　　　　　　　　　　　　　　

 

证明二：

由（Ⅰ）知，BD⊥平面AC₁，

∵A₁C平面AC₁，∴BD⊥A₁C.　　　　　　　　　　

当时，平行六面体的六个面是全等的菱形，

同BD⊥A₁C的证法可得BC₁⊥A₁C.

又BD∩BC₁＝B，

∴A₁C⊥平面C₁BD.