Question

（2011•潍坊二模）2011年3月，日本发生了9.0级地震，地震引发了海啸及核泄漏，某国际组织计划派出12名心理专家和18名核专家赴日本工作，临行前对这30名专家进行了总分为1000分的综合素质测评，测评成绩用茎叶图进行了记录，如图（单位：分）．规定测评成绩在976分以上（包括976）为“尖端专家”，测评成绩在976分以下为“高级专家”，且只有核专家中的“尖端专家”才可以独立开展工作，这些专家先飞抵日本的城市E，再分乘三辆汽车到达工作地点福岛县．已知从城市E到福岛县有三条公路，因地震破坏了道路，汽车可能受阻．据了解：汽车走公路I和公路II顺利到达的概率都为

9

10

；走公路III顺利到达的概率为

2

5

，甲、乙、丙三辆车分别走公路I、II、III，且三辆汽车是否顺利到达相互之间没有影响．
（I）如果用分层抽样的方法从“尖端专家”和“高级专家”中选取6人，再从这6人中选2人，那么至少有一人是“尖端专家”的概率是多少？
（Ⅱ）求至少有两辆汽车顺利到达福岛县的概率；
（Ⅲ）若从所有“尖端专家”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能独立开展工作的人数，试写出ξ的数学期望．

Answer 1

分析：（I）根据茎叶图和由分层抽样的特点可知6人中“尖端专家”2人，“高级专家”4人，可得P=1-

C 2 4

C 2 6

，计算可得；
（Ⅱ）记“汽车从公路I顺利到达”为事件A，“汽车从公路II顺利到达”为事件B，“汽车从公路III顺利到达”为事件C，则P=P（AB

.

C

）+P（A

.

B

C）+P（

.

A

BC）+P（ABC），由独立事件的概率计算可得；（Ⅲ）由茎叶图可知，心理专家中的“尖端专家”为7人，核专家中的“尖端专家”为3人，可得ξ的取值为0，1，2，3，分别求概率可得分布列，可得期望．

解答：解：（I）根据茎叶图可知，有“尖端专家”10人，“高级专家”20人，
每个人被抽到的概率是

6

30

=

1

5

，
由分层抽样可知选出的“尖端专家”10×

1

5

=2人，“高级专家”20×

1

5

=4人，
用事件A表示至少有一名“尖端专家”被选中，则P（A）=1-

C 2 4

C 2 6

=1-

6

15

=

3

5

故至少有一人是“尖端专家”的概率是

3

5

（Ⅱ）记“汽车从公路I顺利到达”为事件A，“汽车从公路II顺利到达”为事件B，
“汽车从公路III顺利到达”为事件C，则至少有两辆汽车顺利到达福岛县的概率为
P=P（AB

.

C

）+P（A

.

B

C）+P（

.

A

BC）+P（ABC）
=

9

10

×

9

10

×

3

5

+

9

10

×

1

10

×

2

5

+

1

10

×

9

10

×

2

5

+

9

10

×

9

10

×

2

5

=

441

550

；
（Ⅲ）由茎叶图可知，心理专家中的“尖端专家”为7人，核专家中的“尖端专家”为3人，
依题意可得ξ的取值为0，1，2，3，P（ξ=0）=

C 3 7

C 3 10

=

7

24

，P（ξ=1）=

C 2 7 C 1 3

C 3 10

=

21

40

，
P（ξ=2）=

C 1 7 C 2 3

C 3 10

=

7

40

，P（ξ=3）=

C 3 3

C 3 10

=

1

120

，
故可得分布列如下：

ξ	0	1	2	3
P	7 24	21 40	7 40	1 120

故ξ的数学期望Eξ=0×

7

24

+1×

21

40

+2×

7

40

+3×

1

120

=

9

10

点评：本题考查离散型随机变量的期望，涉及茎叶图和独立事件的概率公式，属中档题．