题目内容
设A={x|x=a2+b2，a，b∈Z}，求证：
（1）若s，t∈A，则st∈A．
（2）若s，t∈A，t≠0，则
=p2+q2，其中p，q是有理数．
（1）若s，t∈A，则st∈A．
（2）若s，t∈A，t≠0，则
| s | t |
分析：（1）设出s、t，使其符合集合A中元素的形式，然后相乘判断乘积是否符合集合A中元素的形式；
（2）（1）中证出了st∈A，然后把
分子分母同时乘以t，把表达式拆开后即可得证．
（2）（1）中证出了st∈A，然后把
| s |
| t |
解答：解：（1）设s=a2+b2，t=c2+d2，则st=（a2+b2）（c2+d2）=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=（ac+bd）2+（ad-bc）2
所以st∈A．
（2）由（1）得st∈A，所以可设st=m2+n2，又t≠0，所以
=
=
=(
)2+(
)2，
令p=
，q=
，则
=p2+q2，p，q为有理数．
所以st∈A．
（2）由（1）得st∈A，所以可设st=m2+n2，又t≠0，所以
| s |
| t |
| st |
| t2 |
| m2+n2 |
| t2 |
| m |
| t |
| n |
| t |
令p=
| m |
| t |
| n |
| t |
| s |
| t |
点评：本题考查了元素与集合关系的判断，考查了集合思想，训练了判断元素在集合内的方法，解答的关键是把涉及到的集合中的元素写成对应的形式．
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，其中p，q是有理数．