Question

【题目】如图所示，在四棱锥中，平面，，，AP=AD=2AB=2BC，点在棱上.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）当平面时，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）

【解析】

（I）设中点为，连接、.设出的边长，通过计算证明，根据已知得到，由此证得平面，从而证得.（II）以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，利用平面计算出点的坐标，根据直线的方向向量和平面的法向量计算出线面角的正弦值.

（Ⅰ）设中点为，连接、.由题意.

∵，∴四边形为平行四边形，又，∴为正方形.

设，在中，，又，.

∴，∴.

∵平面，平面，∴.

∵，平面，且，∴平面.

∵平面，∴.

（Ⅱ）因为平面，所以，，又，故，，两两垂直，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.

由（Ⅰ）所设知，则，，，.

由已知平面，∴，设，则.

，∵，∴，，

∴.

设平面的法向量，则

令，得.

设所求的角为，.

所以直线与平面所成角的正弦值为.