Question

11．已知f（x）=$\frac{2+x}{2-x}$．
（1）比较f（t）与2${\;}^{\frac{2t+2}{t}}$的大小（-$\frac{2}{3}$＜t＜$\frac{3}{2}$，且t≠0）
（2）设g（x）=$\sqrt{（2-x）f（x）}$-m（x+2）-2，是否存在实数m，使y=g（x）有零点，若存在，求出m的范围．

Answer 1

分析 （1）构造函数h（x）=$\frac{2x+2}{x}$，结合反比例型和指数函数的单调性，可比较f（t）与2${\;}^{\frac{2t+2}{t}}$的大小．
（2）实际上是根的存在性问题，可以通过等价转化求解．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{2+x}{2-x}$=$\frac{-4}{x-2}-1$的图象由函数y=$\frac{-4}{x}$的图象向右平移两个单位，再向下平移一个单位得到，
故f（x）在区间（-∞，2）和区间（2，+∞）上是增函数．
令h（x）=$\frac{2x+2}{x}$=$\frac{2}{x}$+2，
则函数h（x）在区间（-∞，0），（0，+∞）上是减函数，
当t∈（-$\frac{2}{3}$，0）时，f（t）＞f（-$\frac{2}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
h（t）＜h（-$\frac{2}{3}$）=-1，2^h（t）＜2^-1=$\frac{1}{2}$，
所以f（t）＞2${\;}^{\frac{2t+2}{t}}$．
当t∈（0，$\frac{3}{2}$）时，f（t）＜f（$\frac{3}{2}$）=7，h（t）＞h（$\frac{3}{2}$）=$\frac{10}{3}$，
2^h（t）＞${2}^{\frac{10}{3}}$＞2³=8，所以f（t）＜2${\;}^{\frac{2t+2}{t}}$．
综上，当t∈（-$\frac{2}{3}$，0）时，f（t）＞2${\;}^{\frac{2t+2}{t}}$；
当t∈（0，$\frac{3}{2}$）时，f（t）＜2${\;}^{\frac{2t+2}{t}}$．
（2）∵g（x）=$\sqrt{（2-x）f（x）}$-m（x+2）-2=$\sqrt{2+x}$-m（x+2）-2，x≠2．
由题意可知，方程 $\sqrt{2+x}$-m（x+2）-2=0在{x|x≥-2且x≠2}中有实数解，
令$\sqrt{2+x}$=t，则t≥0且t≠2，
问题转化为关于t的方程mt²-t+2=0①，
有非负且不等于2的实数根．
若t=0，则①为2=0，显然不成立，
故t≠0，方程①可变形为m=-2（$\frac{1}{t}$）²+$\frac{1}{t}$，
问题进一步转化为求关于t的函数（t≥0且t≠2）的值域，
因为t≥0且t≠2，所以$\frac{1}{t}$＞0且$\frac{1}{t}$≠$\frac{1}{2}$，
所以m=-2（$\frac{1}{t}$）²+$\frac{1}{t}$∈（-∞，0）∪（0，$\frac{1}{8}$]，
所以实数m的取值范围是（-∞，0）∪（0，$\frac{1}{8}$]．

点评 本题主要考查了函数的单调性以及根的存在性问题，比较复杂，但解题方法均为基本方法，要求掌握．