Question

【题目】如图，在四棱锥中，，，，，过点作平面的垂线，垂足为与的交点，是线段的中点.

（1）求证：DE//平面；

（2）若四棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）取的中点，根据中位线定理可知且，根据题意可得且,进一步可知，然后根据线面平行的判定定理，可得结果.

（2）根据四棱锥的体积，可得，通过建立空间直角坐标系，求得，并得到平面的一个法向量，然后简单计算，可得结果.

证明：（1）取的中点，分别连接，

如图

因为是的中点，是的中点，

所以是的中位线，

所以且.

在平面内，知，，

又，，所以//，且.

所以四边形是平行四边形，

所以，又平面，平面，

所以平面；

（2）以点为原点，以平行于的直线为轴，

以平行于的直线为轴，以直线为轴，

建立如下图所示的空间直角坐标系.

设点，则，.

所以有点.

因为四棱锥的体积为，

所以，解得，则.

又为中点知，则点坐标为.

又点的坐标是，所以.

平面的一个法向量.

设直线与平面所成角为，

则.