Question

已知向量

a

=(

1

sinx

，-

1

sinx

)，

b

=(2，cos2x)，其中x∈(0，

π

2

]．
（1）试判断

a

与

b

能否平行？并说明理由；
（2）求f（x）=

a

•

b

的最小值．

Answer 1

分析：（1）由题意，可先假定两向量平行，则由向量共线的条件可得出

1

sinx

×cos2x+

2

sinx

=0，由此方程得出cos2x=-2，矛盾即可得出结论；
（2）由题意，可先由向量的数量积公式得出函数解析式，将此解析式变形，观察知可用基本不等式求最小值，由此即可解出函数的最小值．

解答：解：（1）

a

与

b

不能平行，理由如下
若

a

∥

b

，则

1

sinx

×cos2x+

2

sinx

=0
∵x∈(0，

π

2

]，
∴sinx≠0，
∴cos2x=-2，
这与|cos2x|≤1矛盾，
故

a

与

b

 不能平行
（2）由题意f（x）=

a

•

b

=

2

sinx

-

1

sinx

×cos2x=

2-cos2x

sinx

=

1

sinx

+2sinx
∵x∈(0，

π

2

]
∴sinx∈（0，1]．
∴f（x）=

1

sinx

+2sinx≥2

1 sinx ×2sinx

=2

2

当且仅当

1

sinx

=2sinx，即x=

π

4

时取等号
∴f（x）=

a

•

b

的最小值是2

2

点评：本题考查基本不等式在求最值问题中的应用，二倍角的余弦，数量积的坐标表示，向量共线的坐标表示，第一小题中解题的关键是利用反证法的思想，先假设存在，由此推出矛盾，第二小题解题的关键是对所得的三角函数解析式进行变化，得出可用基本不等式求最值的形式，此处有一易漏点，易忘记验证等号成立的条件，使用基本不等式求最值时要切记，本题考查了转化的思想，反证法的思想，考查了推理判断的能力及符号计算的能力，是一个易错题．