题目内容

已知向量
a
=(
1
sinx
，
-1
sinx
)，
b
=(2，cos2x)．
（1）若x∈(0，
π
2
]，试判断
a
与
b
能否平行？
（2）若x∈(0，
π
3
]，求函数f(x)=
a
•
b
的最小值．
分析：（1）若
a
与
b
平行，则有
1
sinx
•cos2x=
-1
sinx
•2，解得cos2x=-2，这与|cos2x|≤1相矛盾，故
a
与
b
不能平行．
（2）化简函数的解析式为2sinx +
1
sinx
，根据x∈(0，
π
3
]，得sinx∈(0，
3
2
]，利用基本不等式求出其最小值．
解答：解：（1）若
a
与
b
平行，则有
1
sinx
•cos2x=
-1
sinx
•2，
因为x∈(0，
π
2
]，sinx≠0，所以得cos2x=-2，这与|cos2x|≤1相矛盾，故
a
与
b
不能平行．
（2）由于f(x)=
a
•
b
=
2
sinx
+
-cos2x
sinx
=
2-cos2x
sinx
=
1+2sin2x
sinx
=2sinx+
1
sinx
，
又因为x∈(0，
π
3
]，所以sinx∈(0，
3
2
]，
于是2sinx+
1
sinx
≥2
2sinx•
1
sinx
=2
2
，
当2sinx=
1
sinx
，即sinx=
2
2
时取等号．
故函数f（x）的最小值等于2
2
．
点评：本题考查两个向量共线的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，基本不等式的应用，在利用基本不等式时，要注意检验等号成立的条件，这是解题的易错点．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(
2
sinx
，
-1
sinx
)，
b
=(1，cos2x)且x∈(0，
π
2
]，
（Ⅰ）若
a
与
b
是两个共线向量，求x的值；
（Ⅱ）若f(x)=
a
•
b
，求函数f（x）的最小值及相应的x的值．
已知向量
a
=(
1
sinx
，-
1
sinx
)，
b
=(2，cos2x)，其中x∈(0，
π
2
]．
（1）试判断
a
与
b
能否平行？并说明理由；
（2）求f（x）=
a
•
b
的最小值．
已知向量
a
=(
1
sinx
，-
1
sinx
)，
b
=(2，cos2x)，其中x∈(0，
π
2
]．
（1）试判断
a
与
b
能否平行？并说明理由；
（2）求f（x）=
a
•
b
的最小值．
已知向量
a
=(
1
sinx
，
-1
sinx
)，
b
=(2，cos2x)．
（1）若x∈(0，
π
2
]，试判断
a
与
b
能否平行？
（2）若x∈(0，
π
3
]，求函数f(x)=
a
•
b
的最小值．

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