Question

已知a、b是正整数，函数的图象经过点（1，3）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在（-1，0]上的单调性，并用单调性定义证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）将点的坐标代入函数解析式，得出a，b的关系式，再结合a、b是正整数，即可求出a，b 的值，最后写出函数f（x）的解析式；
（2）先判断出f（x）在（-1，0]上的单调性，取值作差，通分化简判定出符号，再根据函数单调性的定义进行判定即可．
解答：解：（1）由函数，知．…（2分）
又a、b均为正整数，
故3-a＞0，b+1≥2．于是，必有．…（7分）
所以（x≠-1）．…（8分）
（2）结论：上是减函数．…（9分）
证明  设x₁、x₂是（-1，0]内的任意两个不相等的实数，且x₁＜x₂．…（10分）
则…（11分）
=
=．…（13分）
又-1＜x₁≤0，-1＜x₂≤0，x₁＜x₂，故x₁-x₂＜0，1+x₂＞0，x₂+x₁（1+x₂）＜0．（14分）
于是，＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂）．…（16分）
所以，函数上是减函数．
点评：本题主要考查了函数解析式的求解及常用方法、函数单调性的判断与证明，以及分式函数符号的判定，属于基础题．