Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点为F，上顶点为A，直线AF的倾斜角为45°，
（1）求椭圆的离心率；
（2）设过点A且与AF垂直的直线与椭圆右准线的交点为B，过A、B、F三点的圆M恰好与直线3x-y+3=0相切，求椭圆的方程及圆M的方程．

Answer 1

分析：（1）由直线AF的倾斜角为45°可知b=c，进而根据a=

b2+c2

求得a和c的关系，进而可得答案．
（2）依题意可得直线AB的方程为y=-x+c，右准线方程为x=2c，进而可求得B点坐标，依据AF⊥AB可知过A，B，F三点的圆的圆心坐标进而可得圆的半径，根据过A，B，F三点的圆恰好与直线3x-y+3=0相切可知圆心到直线3x-y+3=0的距离等于半径，建立等式可求得b，进而求得a和c．椭圆和圆的方程可得．

解答：解：（1）∵直线AF的倾斜角为45°，
∴b=c，
∴a=

b2+c2

=

2

c
∴e=

c

a

=

2

2

所以椭圆的离心率为

2

2

；
（2）由（1）知b=c，a=

2

c，直线AB的方程为y=-x+c，右准线方程为x=2c，
可得B（2c，-c），
∵AF⊥AB，
∴过A，B，F三点的圆的圆心坐标为(

c

2

，-

c

2

)，
半径r=

1

2

FB=

10

2

c，
∵过A，B，F三点的圆恰好与直线3x-y+3=0相切，
所以圆心到直线3x-y+3=0的距离等于半径r，即

| 3 2 c+ 1 2 c+3|

10

=

10

2

c，
得c=1，
∴b=1，a=

2

，所以椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．
圆M的方程为(x-

1

2

)2+(y+

1

2

)2=

5

2

．

点评：本题主要考查了椭圆的应用．注意圆锥曲线之间相交和相切的关系，根据这些关系找到解决问题的途径．