Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=ca_n+cⁿ⁺¹（2n+1）（n∈N*），其中实数c≠0．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若对一切k∈N*有a_2k＞a_zk-1，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据a₁，a₂和a₃猜测a_n=（n²-1）cⁿ+c^n-1，进而用数学归纳法证明．
（2）把（1）中求得的a_n代入a_2k＞a_zk-1，整理得（4k²-1）c²-（4k²-4k-1）c-1＞0，分别表示c_k和又c_k'，根据c_k＜

(4k2 -4k-1)+4k2+1

2(4k2-1)

＜1求得c≥1，再根据c_k'＜0，判断出单调递增知c_k'≥c₁'求得＜-

1+ 13

6

，最后综合答案可得．

解答：解：（1）由a₁=1，a₂=ca₁+c²3=（2²-1）c²+c
a₃=ca₂+c³•5=（3²-1）c³+c²，
猜测a_n=（n²-1）cⁿ+c^n-1，
下面用数学归纳法证明，
当n=1是，等式成立
假设当n=k，等式成立即a_k=（k²-1）c^k+c^k-1，
则当n=k+1时a_k+1=ca_k+c^k+1（2k+1）=（k²+2k）c^k+1+c^k=[（k+1）²-1]c^k+1+c^k，
综上a_n=（n²-1）cⁿ+c^n-1，对任意n∈N都成立．
（2）由a_2k＞a_zk-1得
[（2k）²-1]c^2k+c^2k-1＞[（2k-1）²-1]c^2k-1+c^2k-2，
因c^2k-2＞0，所以（4k²-1）c²-（4k²-4k-1）c-1＞0
解此不等式得c＞c_k，或c＜c_k'，其中
c_k=

(4k2-4k-1)+ (4k2-4k-1) 2+4(4k2-1)

2(4k2-1)

c_k'=

(4k2-4k-1)- (4k2-4k-1) 2+4(4k2-1)

2(4k2-1)

易知

lim

k→∞

c_k=1
又由

(4k2-4k-1) 2+4(4k2-1)

＜

(4k2-1) 2+4(4k2-1)

=4k²+1，知
c_k＜

(4k2 -4k-1)+4k2+1

2(4k2-1)

＜1
因此由c＞c_k对一切k∈N成立得c≥1
又c_k'=

-2

(4k2-4k-1)+ (4k 2-4k-1) 2+4(4k2-1)

＜0，可知
单调递增，故c_k'≥c₁'对一切k∈N^*成立，因此由c＜c_k'对一切k∈N^*成立得c＜-

1+ 13

6

从而c的取值范围是（-∞，-

1+ 13

6

）∪[1，+∞]

点评：本题主要考查了数列的递推式．考查了学生综合运用所学知识和实际的运算能力．