Question

5．设二次函数f（x）满足：f（0）=-1，f（x）-2=0的两根分别为-3和1．
（1）求f（x）的解析式．
（2）在区间[0，2]上，y=f（x）的图象恒在直线y=kx-3的上方，求k的范围．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）-2=0的两根分别为-3和1，可设f（x）-2=a（x+3）（x-1），将（0，-1）代入整理可得f（x）的解析式．
（2）在区间[0，2]上，y=f（x）的图象恒在直线y=kx-3的上方，即k＜x+$\frac{2}{x}$+2恒成立，结合对勾函数的图象和性质，可得k的范围．

解答 解：（1）∵f（x）-2=0的两根分别为-3和1，
∴f（x）-2=a（x+3）（x-1），
又由f（0）=-1，
∴a=1，
∴f（x）-2=（x+3）（x-1），
即f（x）=x²+2x-1，
（2）若在区间[0，2]上，y=f（x）的图象恒在直线y=kx-3的上方，
则在区间[0，2]上，x²+2x-1＞kx-3恒成立，
当x=0时，不等式显然成立，
当x∈（0，2]时，k＜x+$\frac{2}{x}$+2恒成立，
令g（x）=x+$\frac{2}{x}$+2，由对勾函数图象和性质，可得当x=$\sqrt{2}$时，函数g（x）取最小值2+2$\sqrt{2}$，
故k＜2+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．