Question

【题目】已知，函数

讨论的单调性；

若是的极值点，且曲线在两点 处的切线相互平行，这两条切线在轴上的截距分别为，求的取值范围

Answer 1

【答案】当时，在上单调递减，无单调递增区间；当时，在上单调递减，上单调递增； .

【解析】

（Ⅰ）求出导函数，对a分类讨论，解不等式即可得到函数的单调性；

（Ⅱ）由是的极值点可知a=1，利用切线平行可得，同理，，构建新函数即可得到的取值范围.

（Ⅰ）.

当时，在上恒成立.

在上单调递减，无单调递增区间；

当，且，即时，在上恒成立.

在上单调递减，无单调递增区间；

当，且，即时，在上，，在上，，

在上单调递减，上单调递增.

综上，当时，在上单调递减，无单调递增区间；当时，在上单调递减，上单调递增.

（Ⅱ）是的极值点，由可知

设在处的切线方程为

在处的切线方程为

若这两条切线互相平行，则，

令，则，同理，

【解法一】

设，

，

在区间上单调递减，

即的取值范围是

【解法二】

令，其中

函数在区间上单调递增，.

的取值范围是

【解法三】

设，则

，，函数在区间上单调递增，

的取值范围是.