Question

（2007•淄博三模）已知集合{1}，{3，5}，{7，9，11}，{13，15，17，19}，…，其中第n个集合有n个元素，每一个集合都由连续正奇数组成，并且每一个集合中最大的数与后一个集合中最小的数是连续奇数．
（I）求第n个集合中最小的数a_n的表达式；
（Ⅱ）设b_n=

an-1

n

，求数列{

bn

2bn

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）设第n个集合中最小的数为a_n，则第n-1个集合中最小的数为a_n-1，依题意，可求得a_n与a_n-1之间的关系，利用累加法即可求得a_n的表达式；
（Ⅱ）由（I）知a_n=n²-n+1，从而可知b_n=n-1；于是T_n=

0

20

+

1

21

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

=

1

21

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

，利用错位相减法即可求得T_n．

解答：解（ I）设第n个集合中最小的数为a_n，则第n-1个集合中最小的数为a_n-1．
又第n-1个集合中共有n-1个数，且依次增加2，
∴a_n-1+2（n-1）=a_n，即a_n-a_n-1=2（n-1）（n≥2）…4分
∴a_n-1-a_n-2=2（n-2），
a_n-2-a_n-3=2（n-3）…
a₂-a₁=2．
以上各式相加得a_n-a₁=2×

(n-1)(1+n-1)

2

=n²-n，
又a₁=1，
∴a_n=n²-n+1（n≥2）…6分
验证n=1时a₁适合上式
∴a_n=n²-n+1…7分
（ II）∵a_n=n²-n+1，
∴b_n=

an-1

n

=

n2-n+1-1

n

=n-1…8分
∴T_n=

0

20

+

1

21

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

=

1

21

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

①
又

1

2

T_n=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n-2

2n-1

+

n-1

2n

②
①-②得，

1

2

T_n=

1

21

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n-1

2n

∴T_n=2×

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n-1

2n-1

=2-

1

2n-2

-

n-1

2n-1

即T_n=2-

1

2n-2

-

n-1

2n-1

…12分

点评：本题考查数列的求和，着重考查累加法与错位相减法的应用，考查观察理解与综合应用的能力，属于难题．