Question

12．f（x）=ax³-6ax²+b，x∈[-1，2]的最大值为3，最小值为-29，则a+b的值为5或-31．

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，令导数为0求出根，通过对导函数二次项系数的分a＞0或a＜0两类讨论，判断根左右两边导函数的符号，判断出函数的单调性，求出函数的极值，再求出区间两个端点的函数值，从它们中选出最值，列出方程求出a，b的值，从而求出a+b即可．

解答 解：f′（x）=3ax²-12ax=3ax（x-4）
令f′（x）=0得x=0或x=4（舍去）
①当a＞0时，x∈[-1，0）时，f′（x）＞0，x∈（0，2]时，f′（x）＜0
∴当x=0时，函数f（x）有最大值f（0）=b
∴b=3
∵此时，f（-1）=b-7a=3-7a，f（2）=b-16a=3-16a
∴f（x）的最小值为3-16a
∴3-16a=-29
解得a=2，
此时a+b=5，
②当a＜0时，x∈[-1，0）时，f′（x）＜0，x∈（0，2]时，f′（x）＞0
∴当x=0时，函数f（x）有最小值f（0）=b
∴b=-29
∵此时，f（-1）=b-7a=-29-7a，f（2）=b-16a=-29-16a
∴f（x）的最大值为-29-16a
∴-29-16a=3
解得a=-2，
此时：a+n=-31
故答案为：5或-31．

点评 利用导函数求函数某个闭区间上的最值，一般先求出函数的导函数，令导函数等于0求出根，判断根左右两边的导函数的符号，求出函数的极值，再求出区间两个端点的函数值，选出最值．