Question

【题目】已知函数f（x）=sin（ωx+φ）﹣b（ω＞0，0＜φ＜π）的图象两对称轴之间的距离是 ，若将f（x）的图象先向由平移 个单位，再向上平移 个单位，所得函数g（x）为奇函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调递减区间和对称中心．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ =2× ，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ）﹣b．

又g（x）=sin[2（x﹣ ）+φ]﹣b+ 为奇函数，且0＜φ＜π，则φ= ，b= ，

故f（x）=sin（2x+ ）﹣

（2）解：令2x+ =kπ，k∈z，求得：x= ﹣ ，k∈Z，

故函数的对称中心为：（ ﹣ ，﹣ ），k∈Z，

令2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈z，求得： +kπ≤x≤ +kπ，（k∈Z），

故函数的减区间为[ +kπ， +kπ]（k∈Z）

【解析】（1）由周期求得ω，由函数g（x）为奇函数求得φ和b的值，从而得到函数f（x）的解析式．（2）令2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的减区间，令2x+ =kπ，k∈z，求得x，即可解得函数的对称中心．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．