Question

设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2bcosA=acosC+ccosA．
（1）求角A的大小；
（2）若b=2，c=1，D为BC的中点，求a及AD的长．

Answer 1

分析：（1）根据正弦定理与三角恒等变换公式，化简题中的等式得到2sinBcosA=sinB，从而算出cosA=

1

2

，可得A=

π

3

．
（2）先用余弦定理算出a=

3

，从而得到△ABC是以B为直角的直角三角形，再利用勾股定理即可算出AD的长．

解答：解：（1）∵A+C=π-B，A，B∈（0，π），
∴sin（A+C）=sinB＞0
又∵2bcosA=acosC+ccosA
∴2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB
结合sinB为正数，可得cosA=

1

2

．
∵A∈（0，π），
∴A=

π

3

．
（2）由（1）A=

π

3

，根据余弦定理可得
a²=b²+c²-2bccos

π

3

=4+1-2×2×1×

1

2

=3，
∴c=

3

．
因此cosB=

a2+c2-b2

2ac

=0，可得B=

π

2

∴在Rt△ABD中，AD=

AB2+BD2

=

12+( 3 2 )2

=

7

2

．

点评：本题给出三角形满足的条件，求角A的大小并依此求三角形中线的长．着重考查了利用正余弦定理解三角形、三角恒等变换、勾股定理等知识，属于中档题．