Question

对于区间[m，n]，定义n-m为区间[m，n]的长度，若函数f（x）=ax²-2x+1（a＞0）在任意长度为2的闭区间上总存在两点x₁，x₂，使|f（x₁）-f（x₂）|≥1成立，则实数a的最小值为

1

．

Answer 1

分析：要使函数f（x）=ax²-2x+1（a＞0）在任意长度为2的闭区间上总存在两点x₁，x₂，使|f（x₁）-f（x₂）|≥1成立，只需要|f(

1

a

-1)-f(

1

a

)|≥1恒成立，从而可求实数a的最小值

解答：解：要使函数f（x）=ax²-2x+1（a＞0）在任意长度为2的闭区间上总存在两点x₁，x₂，使|f（x₁）-f（x₂）|≥1成立，只需要|f(

1

a

-1)-f(

1

a

)|≥1恒成立
∵f（x）=ax²-2x+1=a(x-

1

a

)2-

1

a

+1
∴|f(

1

a

-1)-f(

1

a

)|=|a|≥1
∵a＞0
∴a≥1
∴实数a的最小值为1
故答案为：1

点评：本题以新定义为素材，考查对新定义的理解，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是将问题转化为|f(

1

a

-1)-f(

1

a

)|≥1恒成立