题目内容

对于区间[m，n]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果任意x∈[m，n]，均有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[m，n]上是接近的，否则称f（x）与g（x）在[m，n]上是非接近的．现有两个函数f1（x）=loga（x-3a）与f2（x）=loga
1x-a
（a＞0，a≠1）
（1）求f1（x）-f2（x）的定义域；
（2）若f1（x）与f2（x）在整个给定区间[a+2，a+3]上都有意义，
①求a的取值范围；
②讨论f1（x）与f2（x）在整个给定区间[a+2，a+3]上是不是接近的．
分析：（1）利用求函数定义域的方法求函数的定义域．
（2）利用函数的新定义确定a的取值范围．
解答：解：（1）因为f1（x）-f2（x）=loga（x-3a）-loga
1
x-a
（a＞0，a≠1），
所以要使函数有意义，则
x-3a＞0
1
x-a
＞0
，即
x＞3a
x＞a
，所以x＞3a．
定义域为（3a，+∞）…（1分）
（2）①由3a＜a+2∴0＜a＜1…（2分）
②若f1（x）与f2（x）在[a+2，a+3]上接近则|log2(x-3a)-loga
1
(x-a)
|≤1恒成立即a≤(x-3a)(x-a)≤
1
a
…（4分）
∵0＜a＜1∴函数y=(x-3a)(x-a)
在[a+2，a+3]上单调递增∴ymax=9-6a，y min=4-4a
∴
4-4a≥a
9-6a≤
1
a
∴0＜a≤
9-
57
12

因此，
当0＜a≤
9-
57
12
时，f1(x)与f2(x)在[a+2，a+3]上接近.

当
9-
57
12
＜a＜1时，f1(x)与f2(x)不接近．…（8分）
点评：本题主要考查对数函数的性质和应用，考查学生分析问题的能力，综合性较强，运算量较大．
练习册系列答案
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对于区间[m，n]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意x∈[m，n]均有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[m，n]上是接近的；否则，称f（x）与g（x）在[m，n]上是非接近的．现有两个函数f1（x）=loga（x-3a）与f2(x)=loga
1x-a
（a＞0且a≠1），f1（x）与f2（x）在给定区间[a+2，a+3]上都有意义，
（1）求a的取值范围；
（2）问f1（x）与f2（x）在给定区间[a+2，a+3]上是否为接近的？请说明理由．
对于区间[m，n]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果任意x∈[m，n]，均有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[m，n]上是接近的，否则称f（x）与g（x）在[m，n]上是非接近的．现有两个函数f1（x）=loga（x-3a）与f2（x）=loga（a＞0，a≠1）
（1）求f1（x）-f2（x）的定义域；
（2）若f1（x）与f2（x）在整个给定区间[a+2，a+3]上都有意义，
①求a的取值范围；
②讨论f1（x）与f2（x）在整个给定区间[a+2，a+3]上是不是接近的．
对于区间[m，n]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意x∈[m，n]均有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[m，n]上是接近的；否则，称f（x）与g（x）在[m，n]上是非接近的．现有两个函数f1（x）=loga（x-3a）与（a＞0且a≠1），f1（x）与f2（x）在给定区间[a+2，a+3]上都有意义，
（1）求a的取值范围；
（2）问f1（x）与f2（x）在给定区间[a+2，a+3]上是否为接近的？请说明理由．
对于区间[m，n]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意x∈[m，n]均有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[m，n]上是接近的；否则，称f（x）与g（x）在[m，n]上是非接近的．现有两个函数f1（x）=loga（x-3a）与（a＞0且a≠1），f1（x）与f2（x）在给定区间[a+2，a+3]上都有意义，
（1）求a的取值范围；
（2）问f1（x）与f2（x）在给定区间[a+2，a+3]上是否为接近的？请说明理由．

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