题目内容

19．定义：如果函数f（x）在[m，n]上存在x1，x2（m＜x1＜x2＜n）满足f′（x1）=$\frac{f（n）-f（m）}{n-m}$，f′（x2）=$\frac{f（n）-f（m）}{n-m}$，则称函数f（x）是[m，n]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x3-x2+a是[0，a]上“双中值函数”，则实数a的取值范围是（　　）
A．（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）B．（$\frac{1}{2}$，3）C．（$\frac{1}{2}$，1）D．（$\frac{1}{3}$，1）

分析 令f′（x）=3x2-2x=$\frac{f（a）-f（0）}{a-0}$=a2-a，a2-a=3x2-2x，x∈[0，a]．令g（x）=3x2-2x-a2+a，根据函数f（x）=x3-x2+a是[0，a]上“双中值函数”，可得方程3x2-2x-a2+a=0在x∈（0，a）有两个不等实数根．必须满足：g（0）＞0，$g（\frac{1}{3}）$＜0，g（a）＞0．解出即可得出．

解答 解：令f′（x）=3x2-2x=$\frac{f（a）-f（0）}{a-0}$=a2-a，
∴a2-a=3x2-2x，x∈[0，a]．
令g（x）=3x2-2x-a2+a，
∵函数f（x）=x3-x2+a是[0，a]上“双中值函数”，
∴方程3x2-2x-a2+a=0在x∈（0，a）有两个不等实数根．
∴g（0）＞0，$g（\frac{1}{3}）$＜0，g（a）＞0．
解得$\frac{1}{2}＜a＜$1．
∴实数a的取值范围是$（\frac{1}{2}，1）$．
故选：C．

点评 本题考查了导数的运算法则、函数的性质、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

练习册系列答案
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9．下列命题中，真命题的个数是（　　）
$\begin{array}{l}（1）若a＞b，则ac＞bc．（2）若a＞b，则a{c^2}＞b{c^2}.\\（3）若a{c^2}＞b{c^2}，则a＞b．（4）若a＞b，则{e^a}＞{e^b}.\end{array}$．
A．1B．2C．3D．4
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（1）求a，b的值；
（2）从样本中体重在区间（50，60]上的女生中随机抽取两人，求体重在区间（55，60]上的女生至少有一人被抽中的概率．
9．若集合$M=\{x\left|{\frac{1}{x}＜1}\right.\}$，集合S={x|y=lg（x-1）}，则下列各式中正确的是（　　）
A．M∪S=MB．M∪S=SC．M=SD．M∩S=∅

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