Question

20．在平面直角坐标系中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）；以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点A的极坐标为（4$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），直线l的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，且直线l过点A
（1）求曲线C₁上的点到直线l的距离的最大值与最小值；
（2）若过点B（-2，2）与直线l平行的直线l₁与曲线C₁交于M，N两点，求|BM|•|BN|的值．

Answer 1

分析 （1）点A的极坐标为（4$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化为直角坐标A（4，4）．直线l的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，化为$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρcosθ+ρsinθ）$=a，同理可得直角坐标方程，把点A的坐标代入直线方程可得a，再利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性值域及其绝对值的性质即可得出．
（2）利用点斜式可得直线l₁的方程为x+y=0．曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），化为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．联立解出，再利用两点之间的距离公式即可得出．

解答 解：（1）点A的极坐标为（4$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），化为A$（4\sqrt{2}cos\frac{π}{4}，4\sqrt{2}sin\frac{π}{4}）$，即A（4，4）．
直线l的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，化为$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρcosθ+ρsinθ）$=a，∴x+y=$\sqrt{2}$a，
∵直线l过点A，∴4+4=$\sqrt{2}$a，即直线l的方程为x+y-8=0．
∴曲线C₁上的点到直线l的距离=$\frac{|2cosθ+\sqrt{3}sinθ-8|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{7}sin（θ+φ）-8|}{\sqrt{2}}$，
因此最大值与最小值分别$\frac{\sqrt{7}+8}{\sqrt{2}}$，$\frac{8-\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$；即$\frac{\sqrt{14}+8\sqrt{2}}{2}$，$\frac{8\sqrt{2}-\sqrt{14}}{2}$．
（2）直线l₁的方程为：y-2=-（x+2），化为x+y=0．
曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），化为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，解得x²=y²=$\frac{12}{7}$．
∴|BM|•|BN|=|BM|²=x²+y²=$\frac{24}{7}$．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、和差公式、直线与曲线的交点、点到直线的距离公式、三角函数的单调性值域、绝对值的性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．