Question

已知数列{a_n}，a₁=a，且．
（1）若a₁，a₂，a₃成等差数列，求实数a的值；
（2）数列{a_n}能为等比数列吗？若能，试写出它的充要条件并加以证明；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a₁=a，a₂=-2a+4，a₃=4a等差数列，知2（-2a+4）=a+4a，由此能求出实数a的值．
（2）因为，所以，故是以为首项，-1为公比的等比数列，由此能求出数列{a_n}能为等比数列的充要条件．
解答：解：（1）a₁=a，a₂=-2a+4，a₃=4a，
∵2a₂=a₁+a₃，
∴2（-2a+4）=a+4a，
得，
故实数a的值为．
（2）∵，
∴，
∴，
故是以为首项，-1为公比的等比数列，
∴，
∴，
∴，
∴{a_n}为等比数列为常数，
∴当且仅当a=1时，为常数．
点评：本题考查等差数列和等比数列的性质及其应用，具有一定的探索性，对数学思维的要求较高，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．